ID: 00038998
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ основания $BC=9$ и $AD=12$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ (значит, и параллельному ему основанию $AD$). Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдём расстояние от $E$ до прямой $CD$.
Шаг 1. Вспомогательная точка. Основания различны ($9\ne 12$), поэтому прямые $AB$ и $CD$ пересекаются; обозначим точку пересечения $P$, а угол между этими прямыми при вершине $P$ — через $\gamma$.
Шаг 2. Отрезки секущей. Треугольник $PBC$ прямоугольный ($AB\perp BC$), поэтому $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$, откуда $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. Треугольник $PAD$ тоже прямоугольный ($AB\perp AD$), поэтому $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.
Шаг 3. Касательная и секущая из точки $P$. Прямая $AB$ касается окружности в точке $E$, а прямая $CD$ пересекает её в точках $C$ и $D$. По теореме о касательной и секущей
$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, значит $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.
Шаг 4. От $PE$ к расстоянию. Точка $E$ лежит на прямой, проходящей через $P$ под углом $\gamma$ к $CD$, поэтому расстояние от $E$ до прямой $CD$ равно $PE\cdot\sin\gamma$. Синусы сокращаются:
$d=\sqrt{AD\cdot BC}$.
Шаг 5. Числа. $d=\sqrt{12\cdot 9}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10,39$. Обрати внимание: высота трапеции в ответ не входит — он зависит только от оснований.