Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038997

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, его противоположные стороны $AB=39$ и $CD=6$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB=60^{\circ}$. Найдём радиус $R$ описанной окружности.

Шаг 1. Угол между хордами. Диагонали четырёхугольника — хорды окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые опираются он сам и вертикальный ему угол. Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}=60^{\circ}$, то есть $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Шаг 2. Хорды через дуги. Пусть $\smile AB=2\alpha$, $\smile CD=2\beta$, тогда $\alpha+\beta=60^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, и по теореме синусов в расширенной форме хорда равна $2R\sin(\text{вписанный угол, на неё опирающийся})$. Значит, $AB=2R\sin\alpha=39$ и $CD=2R\sin\beta=6$.

Шаг 3. Вспомогательный треугольник. Рассмотрим треугольник, вписанный в ту же окружность, с углами $\alpha$, $\beta$ и $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$. Стороны против углов $\alpha$ и $\beta$ равны $39$ и $6$, а сторона против угла $120^{\circ}$ равна $2R\sin 120^{\circ}=R\sqrt{3}$. По теореме косинусов ($\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$):

$3R^{2}=AB^{2}+CD^{2}+AB\cdot CD$.

Шаг 4. Подставляем.

$3R^{2}=39^{2}+6^{2}+39\cdot 6=1521+36+234=1791$;

$R^{2}=\dfrac{1791}{3}=597$;

$R=\sqrt{597}\approx 24,43$.

Число 597 не является полным квадратом, поэтому ответ оставляем с корнем. Проверка правдоподобия: при $R\approx 24,43$ имеем $\sin\alpha=\dfrac{39}{2R}\approx 0,80$ ($\alpha\approx 53^{\circ}$) и $\sin\beta=\dfrac{6}{2R}\approx 0,12$ ($\beta\approx 7^{\circ}$) — в сумме около $60^{\circ}$, всё согласовано.