Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038996

В трапеции $ABCD$ основания $BC=2$ и $AD=4$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, а значит, и основанию $AD$ (они параллельны). Окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Ищем расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Пересечение прямых $AB$ и $CD$. Основания разной длины ($2\ne 4$), поэтому боковые стороны не параллельны, и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $P$. Угол между ними при вершине $P$ обозначим $\gamma$.

Шаг 2. Отрезки секущей. Треугольник $PBC$ прямоугольный ($AB\perp BC$), значит $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$ и $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. Треугольник $PAD$ прямоугольный ($AB\perp AD$), значит $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.

Шаг 3. Теорема о касательной и секущей. Из точки $P$ проведены касательная $PE$ (по прямой $AB$) и секущая через $C$ и $D$, поэтому

$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, то есть $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.

Шаг 4. Переходим к расстоянию. Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно $PE\cdot\sin\gamma$ (это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $PE$ и острым углом $\gamma$). Подставляя, получаем

$d=\sqrt{AD\cdot BC}$.

Шаг 5. Числа. $d=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Высота трапеции в ответ не входит: он определяется только основаниями.