ID: 00038995
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ основания — $BC=7$ и $AD$, боковые стороны $AB=28$ и $CD=35$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ стороны $AB$. Сначала найдём неизвестное основание $AD$.
Шаг 1. Дополнительное построение. Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. Треугольники $AMD$ и $BMP$ равны: $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$), $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные), $\angle MAD=\angle MBP$ (накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AB$) — равенство по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда $BP=AD$.
Шаг 2. Равнобедренный треугольник $PCD$. Углы $\angle BPD$ и $\angle ADP$ равны как накрест лежащие при $BC\parallel AD$, а $\angle ADP=\angle PDC$, потому что $DP$ — биссектриса угла $ADC$. Значит, $\angle CPD=\angle CDP$, и треугольник $PCD$ равнобедренный: $CP=CD=35$.
Шаг 3. Второе основание. Точка $B$ лежит между $P$ и $C$, поэтому $CP=CB+BP$: $35=7+AD$, откуда $AD=28$.
Шаг 4. Высота. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную $AB$, до пересечения с $AD$ в точке $K$. Тогда $ABCK$ — параллелограмм, $AK=BC=7$, $CK=AB=28$, а $KD=AD-AK=28-7=21$. В треугольнике $KCD$ стороны 21, 28 и 35, и $21^{2}+28^{2}=441+784=1225=35^{2}$. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с прямым углом при $K$, поэтому $CK\perp AD$ и высота трапеции $h=28$.
Шаг 5. Площадь.
$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{7+28}{2}\cdot 28=17,5\cdot 28=490$.