Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038994

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $AD=a$ — большее основание, $BC=b$ — меньшее, $AB=CD=c$. Периметр равен 120, площадь 540, в трапецию можно вписать окружность.

Шаг 1. Что даёт вписанная окружность. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$. Из периметра $a+b+2c=120$ следует $2(a+b)=120$, то есть

$a+b=60$, $c=30$.

Шаг 2. Высота. Средняя линия $m=\dfrac{a+b}{2}=30$, площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, поэтому $h=\dfrac{540}{30}=18$.

Шаг 3. Основания. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на $AD$. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{a-b}{2}$, а из прямоугольного треугольника $ABH$

$AH=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$,

значит $a-b=48$, и вместе с $a+b=60$ получаем $a=54$, $b=6$.

Шаг 4. Диагонали. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны (вертикальные углы при $O$; $\angle OBC=\angle ODA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$), коэффициент подобия $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{6}{54}=\dfrac{1}{9}$. Расстояния от $O$ до оснований относятся так же.

Шаг 5. Считаем. Пусть расстояние до меньшего основания равно $x$, тогда до большего — $9x$, и $x+9x=18$, $10x=18$,

$x=1,8$.