Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038993

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, поэтому она равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$. Расстояние до прямой $AC$ равно 7, значит радиус вписанной окружности $r=7$. Ещё известно $AO=25$ и расстояние от $O$ до прямой $AD$, равное 15.

Шаг 1. Отрезок касательной из вершины $A$. Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CA$ в точках $K$, $M$, $L$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный и $AK=\sqrt{AO^{2}-r^{2}}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$. Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому $AL=AK=24$. Обозначив $BK=BM=y$ и $CL=CM=z$, получаем $BC=y+z$ и полупериметр $p=\dfrac{(24+y)+(y+z)+(z+24)}{2}=24+BC$.

Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD\parallel BC$, а точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между этими параллельными прямыми. Поэтому расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно сумме расстояний от $O$ до них:

$h=15+7=22$.

Шаг 3. Площадь треугольника двумя способами. Это же расстояние — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на $BC$. Значит, $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 22=11\cdot BC$, а с другой стороны $S_{ABC}=r\cdot p=7\,(BC+24)$. Приравниваем:

$11\,BC=7\,BC+168$;

$4\,BC=168$;

$BC=42$.

Шаг 4. Площадь параллелограмма.

$S_{ABCD}=BC\cdot h=42\cdot 22=924$.