Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038992

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=a$ (большее) и $BC=b$ (меньшее) и боковыми сторонами $AB=CD=c$. Периметр равен 200, площадь 1500, в трапецию можно вписать окружность.

Шаг 1. Свойство описанной трапеции. Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$. Из периметра $a+b+2c=200$ получаем $2(a+b)=200$, то есть

$a+b=100$ и $c=50$.

Шаг 2. Высота. Средняя линия равна $m=\dfrac{a+b}{2}=50$, а площадь трапеции равна средней линии, умноженной на высоту, поэтому $h=\dfrac{S}{m}=\dfrac{1500}{50}=30$.

Шаг 3. Основания. Опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на большее основание $AD$. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{a-b}{2}$, а из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора

$AH=\sqrt{c^{2}-h^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40$,

значит $a-b=80$. Вместе с $a+b=100$ находим $a=90$, $b=10$.

Шаг 4. Точка пересечения диагоналей. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны (вертикальные углы при $O$ равны, $\angle OBC=\angle ODA$ — накрест лежащие при $BC\parallel AD$) с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{10}{90}=\dfrac{1}{9}$. В том же отношении относятся и расстояния от $O$ до оснований.

Шаг 5. Вычисление. Если расстояние от $O$ до меньшего основания равно $x$, то до большего — $9x$, а их сумма — высота трапеции: $x+9x=30$, $10x=30$,

$x=3$.