Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038991

В трапеции $ABCD$ основания $BC=10$ и $AD=12$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, а значит, и параллельному ему основанию $AD$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдём расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Точка $P$. Основания различны ($10\ne 12$), поэтому прямые $AB$ и $CD$ не параллельны и пересекаются в точке $P$. Обозначим угол между ними при вершине $P$ через $\gamma$.

Шаг 2. Выражаем $PC$ и $PD$. Треугольник $PBC$ прямоугольный ($AB\perp BC$), поэтому $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$ и $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. Треугольник $PAD$ тоже прямоугольный ($AB\perp AD$), поэтому $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.

Шаг 3. Касательная и секущая. Из точки $P$ проведены касательная $PE$ (лежит на прямой $AB$) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$. По теореме о касательной и секущей

$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, откуда $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.

Шаг 4. Расстояние до прямой $CD$. Точка $E$ лежит на прямой, проходящей через $P$, поэтому расстояние от неё до прямой $CD$ равно $PE\cdot\sin\gamma$ (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $PE$ и углом $\gamma$ при вершине $P$). Значит,

$d=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}\cdot\sin\gamma=\sqrt{AD\cdot BC}$.

Шаг 5. Числа. $d=\sqrt{12\cdot 10}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\approx 10,95$. Заметь: высота трапеции в ответ не входит — важны только основания.