Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038990

В трапеции $ABCD$ основания — $BC=2$ и $AD$, боковые стороны $AB=16$ и $CD=34$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ боковой стороны $AB$. Основание $AD$ неизвестно — начнём с него.

Шаг 1. Продолжаем биссектрису. Проведём луч $DM$ и продолжим его до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. В треугольниках $AMD$ и $BMP$: $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$), $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные углы), $\angle MAD=\angle MBP$ (накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AB$). Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, и $BP=AD$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. $\angle BPD=\angle ADP$ — накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DP$, а $\angle ADP=\angle PDC$, так как $DP$ — биссектриса угла $ADC$. Отсюда $\angle CPD=\angle CDP$, то есть треугольник $PCD$ равнобедренный и $CP=CD=34$.

Шаг 3. Находим $AD$. Точка $B$ лежит между $P$ и $C$, поэтому $CP=CB+BP$, то есть $34=2+AD$, откуда $AD=32$.

Шаг 4. Высота. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $K$. Тогда $ABCK$ — параллелограмм, значит $AK=BC=2$ и $CK=AB=16$, а $KD=AD-AK=32-2=30$. В треугольнике $KCD$ стороны равны 16, 30 и 34, причём $16^{2}+30^{2}=256+900=1156=34^{2}$. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $K$, поэтому $CK\perp AD$ и высота трапеции равна $h=CK=16$.

Шаг 5. Площадь.

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{2+32}{2}\cdot 16=17\cdot 16=272$.