Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038989

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $AD=a$ — большее основание, $BC=b$ — меньшее, $AB=CD=c$ — боковые стороны. Периметр равен 40, площадь 80, в трапецию вписана окружность.

Шаг 1. Условие вписанной окружности. Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $a+b=2c$. Так как $a+b+2c=40$, получаем $2(a+b)=40$, то есть

$a+b=20$ и $c=10$.

Шаг 2. Высота. Средняя линия $m=\dfrac{a+b}{2}=10$, а площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, поэтому $h=\dfrac{S}{m}=\dfrac{80}{10}=8$.

Шаг 3. Основания по отдельности. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{a-b}{2}$, и из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора

$AH=\sqrt{c^{2}-h^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100-64}=6$,

значит $a-b=12$. Вместе с $a+b=20$ получаем $a=16$, $b=4$.

Шаг 4. Диагонали. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны: вертикальные углы при $O$ равны, а $\angle OBC=\angle ODA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$. Коэффициент подобия $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$, и в том же отношении находятся расстояния от точки $O$ до оснований.

Шаг 5. Вычисление. Пусть расстояние от $O$ до меньшего основания равно $x$, тогда до большего — $4x$, а вместе они дают высоту: $x+4x=8$, $5x=8$,

$x=1,6$.