ID: 00038987
Источник: ФИПИ
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, значит она одинаково удалена от всех сторон этого треугольника. Расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 7 — это и есть радиус вписанной окружности: $r=7$. Кроме того, $AO=25$, а расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 14.
Шаг 1. Отрезок касательной из вершины $A$. Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CA$ в точках $K$, $M$, $L$. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный, и по теореме Пифагора $AK=\sqrt{AO^{2}-r^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$. Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому $AL=AK=24$. Обозначим $BK=BM=y$, $CL=CM=z$; тогда $BC=y+z$, а полупериметр треугольника равен $p=\dfrac{(24+y)+(y+z)+(z+24)}{2}=24+y+z=24+BC$.
Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD\parallel BC$, а точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$. Значит, расстояние между этими прямыми равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:
$h=14+7=21$.
Шаг 3. Площадь треугольника двумя способами. Расстояние от прямой $AD$ до прямой $BC$ — это высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, поэтому $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 21=10,5\cdot BC$. С другой стороны, $S_{ABC}=r\cdot p=7\,(BC+24)$. Приравниваем:
$10,5\cdot BC=7\,BC+168$;
$3,5\cdot BC=168$;
$BC=48$.
Шаг 4. Площадь параллелограмма. Она равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней:
$S_{ABCD}=BC\cdot h=48\cdot 21=1008$.