Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038986

В трапеции $ABCD$ основания — $BC=10$ и $AD=20$, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$ (а значит, и параллельному ему основанию $AD$). Окружность проходит через $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдём расстояние от $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Основания разные ($10\ne 20$), поэтому боковые стороны не параллельны: продолжения прямых $AB$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $P$. Обозначим через $\gamma$ угол между этими прямыми при вершине $P$.

Шаг 2. Два прямоугольных треугольника. Треугольник $PBC$ прямоугольный ($AB\perp BC$), в нём $\sin\gamma=\dfrac{BC}{PC}$, откуда $PC=\dfrac{BC}{\sin\gamma}$. Треугольник $PAD$ тоже прямоугольный ($AB\perp AD$), в нём $\sin\gamma=\dfrac{AD}{PD}$, откуда $PD=\dfrac{AD}{\sin\gamma}$.

Шаг 3. Касательная и секущая из точки $P$. Прямая $PE$ (это прямая $AB$) касается окружности в точке $E$, а прямая $PD$ пересекает её в точках $C$ и $D$. По теореме о касательной и секущей

$PE^{2}=PC\cdot PD=\dfrac{BC}{\sin\gamma}\cdot\dfrac{AD}{\sin\gamma}=\dfrac{AD\cdot BC}{\sin^{2}\gamma}$, значит $PE=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}$.

Шаг 4. Расстояние от $E$ до прямой $CD$. Точка $E$ лежит на прямой $PB$, поэтому расстояние от неё до прямой $CD$ равно $PE\cdot\sin\gamma$ (это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $PE$ и острым углом $\gamma$ при вершине $P$). Подставляем найденное $PE$:

$d=PE\cdot\sin\gamma=\dfrac{\sqrt{AD\cdot BC}}{\sin\gamma}\cdot\sin\gamma=\sqrt{AD\cdot BC}$.

Шаг 5. Числа. $d=\sqrt{20\cdot 10}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14,14$. Любопытно, что высота трапеции в ответ вообще не вошла: результат зависит только от длин оснований.