ID: 00038985
Источник: ФИПИ
Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=a$ (большее) и $BC=b$ (меньшее) и боковыми сторонами $AB=CD=c$. Периметр равен 180, площадь 1620, в трапецию можно вписать окружность.
Шаг 1. Что даёт вписанная окружность. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $a+b=AB+CD=2c$. Вместе с периметром $a+b+2c=180$ это даёт $2(a+b)=180$, то есть
$a+b=90$ и $2c=90$, откуда $c=45$.
Шаг 2. Высота трапеции. Средняя линия равна полусумме оснований: $m=\dfrac{a+b}{2}=45$. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, поэтому
$h=\dfrac{S}{m}=\dfrac{1620}{45}=36$.
Шаг 3. Сами основания. Опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции $AH=\dfrac{a-b}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора
$AH=\sqrt{c^{2}-h^{2}}=\sqrt{45^{2}-36^{2}}=\sqrt{2025-1296}=\sqrt{729}=27$,
значит $a-b=54$. Вместе с $a+b=90$ получаем $a=72$, $b=18$.
Шаг 4. Точка пересечения диагоналей. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны (углы при вершине $O$ вертикальные, а $\angle OBC=\angle ODA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$), коэффициент подобия равен $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{18}{72}=\dfrac{1}{4}$. В подобных треугольниках так же относятся и высоты: если $h_{1}$ — расстояние от $O$ до меньшего основания $BC$, а $h_{2}$ — до большего $AD$, то $\dfrac{h_{1}}{h_{2}}=\dfrac{1}{4}$, причём $h_{1}+h_{2}=h=36$.
Шаг 5. Считаем. Пусть $h_{1}=x$, тогда $h_{2}=4x$ и $x+4x=36$, $5x=36$,
$x=7,2$.