Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038984

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, его противоположные стороны $AB=11$ и $CD=41$, а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ под углом $60^{\circ}$. Найдём радиус $R$ описанной окружности.

Шаг 1. Угол между хордами — это про дуги. Диагонали — это хорды окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые он опирается (сам угол и вертикальный ему). Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}=60^{\circ}$, значит $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Шаг 2. Хорда через свою дугу. Пусть $\smile AB=2\alpha$ и $\smile CD=2\beta$, тогда $\alpha+\beta=60^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, а по теореме синусов в расширенной форме сторона равна $2R\sin(\text{противолежащий угол})$, поэтому $AB=2R\sin\alpha=11$ и $CD=2R\sin\beta=41$.

Шаг 3. Вспомогательный треугольник. Рассмотрим треугольник, вписанный в ту же окружность, с углами $\alpha$, $\beta$ и $180^{\circ}-(\alpha+\beta)=120^{\circ}$. Его стороны, лежащие против углов $\alpha$ и $\beta$, равны $2R\sin\alpha=11$ и $2R\sin\beta=41$, а сторона против угла $120^{\circ}$ равна $2R\sin 120^{\circ}=R\sqrt{3}$. По теореме косинусов для угла $120^{\circ}$ ($\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$):

$3R^{2}=AB^{2}+CD^{2}+AB\cdot CD$.

Шаг 4. Подставляем числа.

$3R^{2}=11^{2}+41^{2}+11\cdot 41=121+1681+451=2253$;

$R^{2}=\dfrac{2253}{3}=751$;

$R=\sqrt{751}\approx 27,4$.

Число 751 не является полным квадратом, поэтому ответ остаётся с корнем — это нормально, приближение нужно лишь для проверки правдоподобия: при $R\approx 27,4$ получаем $\sin\alpha=\dfrac{11}{2R}\approx 0,20$ ($\alpha\approx 11,6^{\circ}$) и $\sin\beta=\dfrac{41}{2R}\approx 0,75$ ($\beta\approx 48,4^{\circ}$), в сумме как раз $60^{\circ}$.