Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038982

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, углы при основании $AD$ равны $7^{\circ}$ и $83^{\circ}$. Даны длины двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон: 14 и 11.

Шаг 1. Средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции, она равна полусумме оснований: $\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 2. Отрезок между серединами оснований. Заметим, что $7^{\circ}+83^{\circ}=90^{\circ}$. Продлим боковые стороны до пересечения в точке $P$: в треугольнике $APD$ угол при вершине $P$ равен $180^{\circ}-7^{\circ}-83^{\circ}=90^{\circ}$, то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD$. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $PM=\dfrac{a}{2}$. Треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ (так как $BC\parallel AD$) и тоже прямоугольный, его медиана к гипотенузе $BC$ равна $PN=\dfrac{b}{2}$, причём точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,

$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.

Шаг 3. Составляем систему. Полусумма оснований больше полуразности, поэтому 14 — это средняя линия, а 11 — отрезок между серединами оснований:

$\dfrac{a+b}{2}=14\Rightarrow a+b=28$; $\quad\dfrac{a-b}{2}=11\Rightarrow a-b=22$.

Шаг 4. Решаем. Складывая уравнения, получаем $2a=50$, $a=25$; тогда $b=28-25=3$. Проверка: $\dfrac{25+3}{2}=14$ и $\dfrac{25-3}{2}=11$ — оба условия выполнены.