Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038981

Окружность проходит через точки $M$ и $N$, лежащие на стороне $AC$ ($AM=18$, $AN=40$), и касается луча $AB$ в точке $T$. Дано $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$. Нужен радиус $R$.

Шаг 1. Синус угла $A$. $\sin^{2}A=1-\cos^{2}A=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}$, и так как $A$ — угол треугольника, $\sin A=\dfrac{2}{3}$.

Шаг 2. Отрезок касательной. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей $AT^{2}=AM\cdot AN=18\cdot 40=720$, значит $AT=\sqrt{720}=12\sqrt{5}$.

Шаг 3. Где центр. Пусть $O$ — центр окружности. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $OT\perp AB$ и $OT=R$. Опустим перпендикуляр $OP$ на прямую $AC$; перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому $P$ — середина $MN$ и $AP=\dfrac{18+40}{2}=29$.

Шаг 4. Проекция на прямую $AC$. Опустим из точки $T$ перпендикуляр $TQ$ на прямую $AC$. Из прямоугольного треугольника $ATQ$: $AQ=AT\cos A=12\sqrt{5}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{12\cdot 5}{3}=20$. Отрезок $TO$ перпендикулярен $AB$, а значит, образует с прямой $AC$ угол $90^{\circ}-A$, и его проекция на $AC$ равна $TO\cdot\cos(90^{\circ}-A)=R\sin A$. Точки $Q$ и $P$ — проекции $T$ и $O$ на $AC$, поэтому

$AP=AQ+QP$, то есть $29=20+R\cdot\dfrac{2}{3}$.

Шаг 5. Находим радиус. $\dfrac{2R}{3}=29-20=9$, откуда $R=\dfrac{27}{2}=13,5$.