ID: 00038980
Источник: ФИПИ
Пусть $ABCD$ — трапеция, $AD$ и $BC$ — её основания ($AD=a$, $BC=b$), а углы при основании $AD$ равны $53^{\circ}$ и $37^{\circ}$. Даны два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон: их длины 6 и 2.
Шаг 1. Один из отрезков — средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции; она равна полусумме оснований: $\dfrac{a+b}{2}$.
Шаг 2. Второй отрезок — соединяет середины оснований. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$ углы при основании равны $53^{\circ}$ и $37^{\circ}$, поэтому $\angle APD=180^{\circ}-53^{\circ}-37^{\circ}=90^{\circ}$ (здесь и «прячется» подсказка про сумму углов $53^{\circ}+37^{\circ}=90^{\circ}$). Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Тогда $PM$ — медиана прямоугольного треугольника $APD$, проведённая к гипотенузе, а такая медиана равна половине гипотенузы: $PM=\dfrac{a}{2}$. Точно так же в прямоугольном треугольнике $BPC$ (он получается из $APD$ гомотетией с центром $P$, ведь $BC\parallel AD$) медиана $PN=\dfrac{b}{2}$, и точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Значит,
$MN=PM-PN=\dfrac{a-b}{2}$.
Шаг 3. Какой отрезок какой. Полусумма оснований всегда больше полуразности, поэтому средняя линия равна 6, а отрезок между серединами оснований равен 2:
$\dfrac{a+b}{2}=6\Rightarrow a+b=12$; $\quad\dfrac{a-b}{2}=2\Rightarrow a-b=4$.
Шаг 4. Решаем систему. Сложим уравнения: $2a=16$, значит $a=8$; тогда $b=12-8=4$. Проверка: полусумма $\dfrac{8+4}{2}=6$, полуразность $\dfrac{8-4}{2}=2$ — совпало с условием.