Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038979

Здесь $AD$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$, $AD=15$; точка $M$ — пересечение этой высоты с полуокружностью, построенной на $BC$ как на диаметре, $MD=12$; $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр). Найдём $AH$.

Шаг 1. Прямой угол из полуокружности. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Поэтому $\angle BMC=90^{\circ}$, и треугольник $BMC$ — прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Шаг 2. Высота к гипотенузе. В этом прямоугольном треугольнике $MD\perp BC$, то есть $MD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Такая высота равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы: $MD^{2}=BD\cdot DC$. Значит, $BD\cdot DC=12^{2}=144$.

Шаг 3. Ортоцентр и то же произведение. Проведём вторую высоту $BE$ ($E$ на $AC$); она пересечёт $AD$ в точке $H$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$: углы при вершине $D$ прямые, а $\angle DBH=\angle DAC$, так как каждый из них дополняет угол $C$ до $90^{\circ}$. Треугольники подобны по двум углам, поэтому $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Вычисления. $DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{144}{15}=9,6$. Так как $H$ лежит на отрезке $AD$ (треугольник остроугольный, ортоцентр внутри),

$AH=AD-DH=15-9,6=5,4$.