Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038978

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Значит, она равноудалена от всех трёх сторон этого треугольника, и это общее расстояние — радиус вписанной окружности. По условию расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 3, поэтому $r=3$: столько же от $O$ до прямых $AB$ и $BC$. Ещё дано $AO=5$ и расстояние от $O$ до прямой $AD$, равное 4.

Шаг 1. Отрезок касательной из вершины $A$. Пусть вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $K$, стороны $AC$ — в точке $L$, стороны $BC$ — в точке $M$. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный: $OK=3$, $AO=5$, и по теореме Пифагора $AK=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, поэтому $AL=AK=4$. Обозначим $BK=BM=y$ и $CL=CM=z$; тогда $BC=y+z$, а полупериметр треугольника равен $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}=\dfrac{(4+y)+(y+z)+(z+4)}{2}=4+y+z=4+BC$.

Шаг 2. Высота параллелограмма. В параллелограмме $AD\parallel BC$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Значит, расстояние между этими прямыми (а это и есть высота параллелограмма, опущенная на сторону $BC$) равно сумме расстояний от $O$ до каждой из них:

$h=4+3=7$.

Шаг 3. Площадь треугольника двумя способами. С одной стороны, высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на $BC$, — это в точности расстояние от прямой $AD$ до прямой $BC$, то есть $h=7$, поэтому $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot 7$. С другой стороны, площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S_{ABC}=r\cdot p=3\,(BC+4)$. Приравниваем:

$3,5\cdot BC=3\,BC+12$;

$0,5\cdot BC=12$;

$BC=24$.

Шаг 4. Площадь параллелограмма. Она равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

$S_{ABCD}=BC\cdot h=24\cdot 7=168$.