Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038977

Окружность проходит через точки $M$ и $N$ стороны $AC$ ($AM=36$, $AN=44$) и касается луча $AB$ в некоторой точке $T$. Известен угол при вершине $A$: $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$. Нужен радиус $R$.

Шаг 1. Синус угла $A$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^{2}A=1-\cos^{2}A=1-\dfrac{11}{36}=\dfrac{25}{36}$, а так как угол треугольника $A$ лежит между $0^{\circ}$ и $180^{\circ}$, синус положителен: $\sin A=\dfrac{5}{6}$.

Шаг 2. Длина отрезка касательной. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: $AT^{2}=AM\cdot AN=36\cdot 44=1584$, откуда $AT=\sqrt{1584}=12\sqrt{11}$.

Шаг 3. Где находится центр. Пусть $O$ — центр окружности. Тогда $OT\perp AB$ (радиус в точку касания), $OT=R$. Опустим также перпендикуляр $OP$ на прямую $AC$: перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит $P$ — середина $MN$, и $AP=\dfrac{AM+AN}{2}=\dfrac{36+44}{2}=40$.

Шаг 4. Проецируем путь $A\to T\to O$ на прямую $AC$. Опустим из $T$ перпендикуляр $TQ$ на прямую $AC$. В прямоугольном треугольнике $ATQ$ имеем $AQ=AT\cdot\cos A=12\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=\dfrac{12\cdot 11}{6}=22$. Отрезок $TO$ перпендикулярен $AB$, а прямая $AC$ наклонена к $AB$ под углом $A$, поэтому $TO$ образует с $AC$ угол $90^{\circ}-A$, и его проекция на $AC$ равна $TO\cdot\cos(90^{\circ}-A)=R\sin A$. Точки $Q$ и $P$ — проекции точек $T$ и $O$ на $AC$, поэтому $QP=R\sin A$ и

$AP=AQ+QP$, то есть $40=22+R\cdot\dfrac{5}{6}$.

Шаг 5. Решаем уравнение. $\dfrac{5R}{6}=40-22=18$, значит $R=\dfrac{18\cdot 6}{5}=\dfrac{108}{5}=21,6$.