Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038976

Дан треугольник $ABC$, в нём $AB=18$, $AC=36$, точка $O$ — центр описанной окружности. Прямая $BD\perp AO$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$; нужно найти $CD$. Про перпендикулярность к радиусу $AO$ полезно вспомнить одно: перпендикулярна радиусу в точке $A$ и касательная к окружности, проведённая в этой точке.

Шаг 1. Параллельность. Пусть $t$ — касательная к описанной окружности в точке $A$. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит $t\perp AO$. Но и $BD\perp AO$ по условию. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому $BD\parallel t$.

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. По теореме об угле между касательной и хордой этот угол измеряется половиной дуги, заключённой внутри него, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны. Для касательной $t$ и хорды $AB$ получаем: угол между $t$ и $AB$ равен $\angle ACB$.

Шаг 3. Переносим угол в точку $B$. Так как $BD\parallel t$, а $AB$ — секущая, накрест лежащие углы равны: $\angle ABD$ равен углу между $t$ и $AB$, то есть $\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 4. Подобие. Сравним треугольники $ABD$ и $ACB$: угол $A$ у них общий, а $\angle ABD=\angle ACB$ (шаг 3). По двум углам треугольники подобны, причём соответствуют друг другу стороны так: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, то есть $AB^{2}=AD\cdot AC$.

Шаг 5. Считаем. $AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}=\dfrac{18^{2}}{36}=\dfrac{324}{36}=9$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому

$CD=AC-AD=36-9=27$.