Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038975

В трапеции $ABCD$ основания — $BC$ и $AD$, боковые стороны $AB=40$ и $CD=41$, $BC=16$. Про биссектрису угла $ADC$ известно, что она проходит через середину $M$ боковой стороны $AB$. Второе основание $AD$ неизвестно — сначала найдём его, а уже потом высоту и площадь.

Шаг 1. Продлеваем биссектрису. Проведём луч $DM$ и продолжим его до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. Сравним треугольники $AMD$ и $BMP$: $AM=MB$ (по условию $M$ — середина), $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные), $\angle MAD=\angle MBP$ (накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AB$). Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, и $BP=AD$.

Шаг 2. Находим равнобедренный треугольник. $\angle BPD=\angle ADP$ — накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DP$. Но $DP$ — биссектриса угла $ADC$, поэтому $\angle ADP=\angle PDC$. Получаем $\angle CPD=\angle PDC$, то есть треугольник $PCD$ равнобедренный, и $CP=CD=41$.

Шаг 3. Находим основание $AD$. Точка $B$ лежит между $P$ и $C$, поэтому $CP=CB+BP$, то есть $41=16+AD$, откуда $AD=41-16=25$.

Шаг 4. Высота трапеции. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$; пусть она пересекает основание $AD$ в точке $K$. Тогда $ABCK$ — параллелограмм, значит $AK=BC=16$ и $CK=AB=40$, а $KD=AD-AK=25-16=9$. В треугольнике $KCD$ стороны равны $9$, $40$ и $41$, и $9^{2}+40^{2}=81+1600=1681=41^{2}$. По теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный, причём прямой угол — при вершине $K$. Значит, $CK\perp AD$, и $CK$ — это высота трапеции: $h=40$.

Шаг 5. Площадь. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{16+25}{2}\cdot 40=\dfrac{41}{2}\cdot 40=820$.