Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038974

Разберёмся, что нам дано: $AD$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$ (значит, $AD\perp BC$, точка $D$ лежит на $BC$), $AD=49$. На $BC$ как на диаметре построена полуокружность, и она пересекает высоту в точке $M$, причём $MD=42$. Точка $H$ — ортоцентр, точка пересечения высот. Нужно найти $AH$.

Шаг 1. Что даёт полуокружность. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Значит, $\angle BMC=90^{\circ}$, то есть треугольник $BMC$ прямоугольный с гипотенузой $BC$. Отрезок $MD$ в нём — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

Шаг 2. Высота прямоугольного треугольника — среднее геометрическое. По известному свойству высота, проведённая из прямого угла, есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы: $MD^{2}=BD\cdot DC$. Подставляем: $BD\cdot DC=42^{2}=1764$.

Шаг 3. Связываем произведение $BD\cdot DC$ с ортоцентром. Пусть $BE$ — вторая высота треугольника, тогда $H$ лежит на $AD$ и на $BE$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$: у них прямые углы при вершине $D$, а $\angle DBH=\angle DAC$, потому что оба угла дополняют угол $C$ до $90^{\circ}$ (первый — в треугольнике $BEC$, второй — в треугольнике $ADC$). Значит, треугольники подобны по двум углам, и $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, откуда $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 4. Считаем. $DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{1764}{49}=36$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому

$AH=AD-DH=49-36=13$.

Итог одной формулой: $AH=AD-\dfrac{MD^{2}}{AD}$.