ID: 00038973
Источник: ФИПИ
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$, у которого известны две противоположные стороны: $AB=44$ и $CD=8$. Диагонали пересекаются в точке $K$ под углом $60^{\circ}$. Ключ к задаче — теорема об угле между пересекающимися хордами.
Шаг 1. Что даёт угол между диагоналями. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме двух дуг, которые эти хорды высекают (дуги, на которые опирается сам угол и вертикальный ему). Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, значит
$\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}=60^{\circ}$, откуда $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.
Шаг 2. Переводим дуги в углы. Обозначим $\smile AB=2\alpha$ и $\smile CD=2\beta$. Тогда $\alpha+\beta=60^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому по теореме синусов (в расширенной форме $\dfrac{a}{\sin A}=2R$) хорда выражается через свою дугу так: $AB=2R\sin\alpha$ и $CD=2R\sin\beta$, где $R$ — искомый радиус.
Шаг 3. Собираем всё в один треугольник. Рассмотрим вспомогательный треугольник, вписанный в ту же окружность, с углами $\alpha$, $\beta$ и $180^{\circ}-(\alpha+\beta)=120^{\circ}$. Его стороны против углов $\alpha$ и $\beta$ равны как раз $2R\sin\alpha=44$ и $2R\sin\beta=8$, а сторона против угла $120^{\circ}$ равна $2R\sin 120^{\circ}=R\sqrt{3}$. Применим к нему теорему косинусов: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними. Так как $\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$, получаем
$(R\sqrt{3})^{2}=AB^{2}+CD^{2}+AB\cdot CD$, то есть $3R^{2}=AB^{2}+CD^{2}+AB\cdot CD$.
Шаг 4. Подставляем числа.
$3R^{2}=44^{2}+8^{2}+44\cdot 8=1936+64+352=2352$;
$R^{2}=\dfrac{2352}{3}=784$;
$R=\sqrt{784}=28$.
Проверим правдоподобность: при $R=28$ получаем $\sin\alpha=\dfrac{44}{56}\approx 0,786$ ($\alpha\approx 51,8^{\circ}$) и $\sin\beta=\dfrac{8}{56}\approx 0,143$ ($\beta\approx 8,2^{\circ}$), сумма как раз $60^{\circ}$ — всё сходится.