Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038972

Обозначим точку касания окружности с лучом $AB$ буквой $T$. Тогда из вершины $A$ к окружности проведены касательная $AT$ и секущая, проходящая через точки $M$ и $N$ стороны $AC$.

Шаг 1. Длина касательной. По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AT^{2}=AM\cdot AN=4\cdot 15=60$, значит $AT=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.

Шаг 2. Синус угла $A$. По основному тригонометрическому тождеству

$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{15}{16}}=\dfrac{1}{4}$.

Шаг 3. Стороны треугольника $MNT$. Все три точки $M$, $N$, $T$ лежат на нашей окружности, поэтому искать надо радиус описанной около треугольника $MNT$ окружности. Сторона $MN=AN-AM=15-4=11$. По теореме косинусов в треугольнике $AMT$ ($AM=4$, $AT=2\sqrt{15}$, угол между ними — угол $A$):

$MT^{2}=4^{2}+60-2\cdot 4\cdot 2\sqrt{15}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=16+60-60=16$, то есть $MT=4$.

Аналогично в треугольнике $ANT$ ($AN=15$):

$NT^{2}=15^{2}+60-2\cdot 15\cdot 2\sqrt{15}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}=225+60-225=60$, то есть $NT=2\sqrt{15}$.

Шаг 4. Площадь треугольника $MNT$. Возьмём основанием сторону $MN=11$, лежащую на прямой $AC$; высота к ней — расстояние от точки $T$ до прямой $AC$:

$h=AT\cdot\sin\angle BAC=2\sqrt{15}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, поэтому $S=\dfrac{1}{2}\cdot 11\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{2}=\dfrac{11\sqrt{15}}{4}$.

Шаг 5. Радиус описанной окружности. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и площадью $S$ верно $R=\dfrac{abc}{4S}$:

$R=\dfrac{11\cdot 4\cdot 2\sqrt{15}}{4\cdot\dfrac{11\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{88\sqrt{15}}{11\sqrt{15}}=8$.