Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038971

Диагонали $AC$ и $BD$ — хорды описанной окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые опираются он и вертикальный ему угол; угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$60^{\circ}=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}$, откуда $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Вспомогательное построение. Отложим от точки $B$ по окружности дугу, равную дуге $CD$ (в сторону, противоположную дуге $AB$), и обозначим полученную точку $B_{1}$. Равные дуги стягиваются равными хордами, значит, $BB_{1}=CD=30$, а дуга $AB_{1}$ равна сумме дуг $AB$ и $CD$, то есть $120^{\circ}$.

Шаг 1. Хорда и радиус. Хорда, стягивающая дугу в $120^{\circ}$, равна

$AB_{1}=2R\sin 60^{\circ}=R\sqrt{3}$.

Шаг 2. Угол треугольника $ABB_{1}$. Вписанный угол $ABB_{1}$ опирается на дугу $AB_{1}$, не содержащую точку $B$, то есть на дугу в $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$, поэтому

$\angle ABB_{1}=\dfrac{240^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Шаг 3. Теорема косинусов. В треугольнике $ABB_{1}$ известны $AB=12$, $BB_{1}=30$ и угол между ними $120^{\circ}$, причём $\cos 120^{\circ}=-0,5$:

$AB_{1}^{2}=12^{2}+30^{2}+12\cdot 30=144+900+360=1404$.

Шаг 4. Радиус. Так как $AB_{1}^{2}=3R^{2}$, получаем

$3R^{2}=1404$, $R^{2}=468$ и $R=\sqrt{468}=\sqrt{36\cdot 13}=6\sqrt{13}\approx 21,63$.