Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038970

Точка $D$ — основание высоты $AD$, поэтому $AD\perp BC$, а точка $M$ лежит на этой высоте и на полуокружности, построенной на $BC$ как на диаметре. Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр), она тоже лежит на высоте $AD$, поэтому

$AH=AD-DH$, и всё сводится к поиску отрезка $DH$.

Шаг 1. Что даёт полуокружность. Угол $BMC$ вписан в окружность и опирается на диаметр $BC$, значит, $\angle BMC=90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $BMC$ отрезок $MD$ — высота, проведённая к гипотенузе $BC$ (ведь $MD$ лежит на прямой $AD\perp BC$). По свойству высоты прямоугольного треугольника она есть среднее геометрическое проекций катетов:

$MD^{2}=BD\cdot DC$, то есть $BD\cdot DC=69^{2}=4761$.

Шаг 2. Связываем произведение с ортоцентром. Проведём высоту из вершины $B$; она пересекает $AC$ и проходит через $H$, поэтому $BH\perp AC$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при вершине $D$). В них

$\angle DBH=90^{\circ}-\angle C$ (из прямоугольного треугольника, образованного высотой из $B$ и стороной $BC$) и $\angle DAC=90^{\circ}-\angle C$ (из прямоугольного треугольника $ADC$),

значит, $\angle DBH=\angle DAC$, и треугольники $BDH$ и $ADC$ подобны по двум углам. Отсюда

$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$, то есть $AD\cdot DH=BD\cdot DC$.

Шаг 3. Находим $DH$. Подставим числа:

$90\cdot DH=4761$, откуда $DH=\dfrac{4761}{90}=52,9$.

Шаг 4. Находим $AH$.

$AH=AD-DH=90-52,9=37,1$.

Итог короткой формулой: $AH=AD-\dfrac{MD^{2}}{AD}$ — обе связи (полуокружность и ортоцентр) дают одно и то же произведение $BD\cdot DC$.