Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038969

Диагонали вписанного четырёхугольника — хорды окружности, а угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые он опирается. Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$60^{\circ}=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}$, то есть $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Вспомогательное построение. Отложим от точки $B$ по окружности дугу, равную дуге $CD$ (в сторону от дуги $AB$), и получим точку $B_{1}$. Равным дугам соответствуют равные хорды, поэтому $BB_{1}=CD=12$, а дуга $AB_{1}$ равна сумме дуг $AB$ и $CD$, то есть $120^{\circ}$.

Шаг 1. Хорда через радиус. Хорда, стягивающая дугу в $120^{\circ}$, равна

$AB_{1}=2R\sin 60^{\circ}=R\sqrt{3}$.

Шаг 2. Угол при вершине $B$. Вписанный угол $ABB_{1}$ опирается на дугу $AB_{1}$, не содержащую $B$, а она равна $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому $\angle ABB_{1}=120^{\circ}$.

Шаг 3. Теорема косинусов в треугольнике $ABB_{1}$. Стороны $AB=39$ и $BB_{1}=12$, угол между ними $120^{\circ}$, $\cos 120^{\circ}=-0,5$:

$AB_{1}^{2}=39^{2}+12^{2}+39\cdot 12=1521+144+468=2133$.

Шаг 4. Находим радиус. Из $AB_{1}=R\sqrt{3}$ следует $3R^{2}=2133$, значит

$R^{2}=711$ и $R=\sqrt{711}=\sqrt{9\cdot 79}=3\sqrt{79}\approx 26,66$.

Полезно запомнить приём: при известном угле между диагоналями вписанного четырёхугольника две его стороны переносом дуги собираются в один треугольник.