Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038968

Диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды описанной окружности, а угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, на которые он опирается. Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$60^{\circ}=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}$, откуда $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Вспомогательное построение. Отложим от точки $B$ по окружности дугу, равную дуге $CD$ (в сторону, противоположную дуге $AB$), и обозначим её конец $B_{1}$. Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому $BB_{1}=CD=16$, а дуга $AB_{1}$ складывается из дуг $AB$ и $CD$:

$\smile AB_{1}=120^{\circ}$.

Шаг 1. Связь хорды $AB_{1}$ с радиусом. Хорда, стягивающая дугу в $120^{\circ}$, выражается через радиус так:

$AB_{1}=2R\sin 60^{\circ}=R\sqrt{3}$.

Шаг 2. Угол треугольника $ABB_{1}$. Вписанный угол $ABB_{1}$ опирается на дугу $AB_{1}$, не содержащую точку $B$, то есть на дугу $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$, поэтому

$\angle ABB_{1}=\dfrac{240^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Шаг 3. Теорема косинусов. В треугольнике $ABB_{1}$ стороны $AB=25$ и $BB_{1}=16$, угол между ними $120^{\circ}$, $\cos 120^{\circ}=-0,5$:

$AB_{1}^{2}=25^{2}+16^{2}+25\cdot 16=625+256+400=1281$.

Шаг 4. Радиус. Так как $AB_{1}=R\sqrt{3}$, то $AB_{1}^{2}=3R^{2}$, значит

$3R^{2}=1281$, $R^{2}=427$ и $R=\sqrt{427}\approx 20,66$.

Суть приёма: перенос дуги позволяет «склеить» две стороны четырёхугольника в один треугольник с известным углом $120^{\circ}$.