Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038967

Окружность проходит через точки $M$ и $N$ стороны $AC$ и касается луча $AB$; обозначим точку касания $T$. Тогда из вершины $A$ к окружности выходят касательная $AT$ и секущая, проходящая через $M$ и $N$, — это и есть вход в задачу.

Шаг 1. Длина касательной. По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AT^{2}=AM\cdot AN=9\cdot 11=99$, значит $AT=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$.

Шаг 2. Синус угла $A$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^{2}\angle BAC=1-\cos^{2}\angle BAC$:

$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{11}{36}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{5}{6}$.

Шаг 3. Стороны треугольника $MNT$. Радиус будем искать как радиус окружности, описанной около треугольника $MNT$ (все три его вершины лежат на нашей окружности). Сторона $MN=AN-AM=11-9=2$. Сторону $MT$ найдём по теореме косинусов в треугольнике $AMT$, где $AM=9$, $AT=3\sqrt{11}$ и угол между ними — угол $A$:

$MT^{2}=9^{2}+\left(3\sqrt{11}\right)^{2}-2\cdot 9\cdot 3\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=81+99-99=81$, то есть $MT=9$.

Аналогично в треугольнике $ANT$ ($AN=11$, $AT=3\sqrt{11}$):

$NT^{2}=11^{2}+99-2\cdot 11\cdot 3\sqrt{11}\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{6}=121+99-121=99$, то есть $NT=3\sqrt{11}$.

Шаг 4. Площадь треугольника $MNT$. Возьмём за основание сторону $MN=2$, лежащую на прямой $AC$. Высота к ней — это расстояние от точки $T$ до прямой $AC$, равное

$AT\cdot\sin\angle BAC=3\sqrt{11}\cdot\dfrac{5}{6}=2,5\sqrt{11}$.

Тогда $S=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2,5\sqrt{11}=2,5\sqrt{11}$.

Шаг 5. Радиус описанной окружности. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и площадью $S$ радиус описанной окружности равен $R=\dfrac{abc}{4S}$:

$R=\dfrac{2\cdot 9\cdot 3\sqrt{11}}{4\cdot 2,5\sqrt{11}}=\dfrac{54\sqrt{11}}{10\sqrt{11}}=5,4$.