Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038966

В трапеции $ABCD$ основания $BC=2$ и $AD$ (её длина неизвестна), боковые стороны $AB=8$ и $CD=10$. Чтобы найти площадь, нужны оба основания и высота, поэтому сначала «вытащим» из условия про биссектрису длину $AD$.

Вспомогательное построение. Обозначим через $M$ середину боковой стороны $AB$; по условию биссектриса угла $ADC$ проходит через $M$. Продлим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $N$.

Шаг 1. Два равных треугольника. В треугольниках $AMD$ и $BMN$: $AM=MB$ (так как $M$ — середина), $\angle AMD=\angle BMN$ (вертикальные), $\angle MAD=\angle MBN$ (накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AB$). Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда

$BN=AD$.

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. $\angle ADM=\angle MDC$ (так как $DM$ — биссектриса), а $\angle ADM=\angle DNC$ как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $DN$. Значит, $\angle DNC=\angle NDC$, и треугольник $NDC$ равнобедренный:

$CN=CD=10$.

Шаг 3. Находим $AD$. Точка $B$ лежит между $N$ и $C$, поэтому

$CN=CB+BN=2+AD=10$, откуда $AD=8$.

Шаг 4. Ищем высоту. Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH_{1}$ и $CH_{2}$ на основание $AD$ и обозначим $AH_{1}=x$, высоту трапеции — $h$. Тогда $H_{1}H_{2}=BC=2$ и $H_{2}D=AD-x-2=6-x$. По теореме Пифагора из двух прямоугольных треугольников:

$h^{2}=AB^{2}-x^{2}=64-x^{2}$ и $h^{2}=CD^{2}-(6-x)^{2}=100-(6-x)^{2}$.

Приравняем: $64-x^{2}=100-36+12x-x^{2}$, то есть $64=64+12x$, откуда $x=0$.

Значит, высота совпадает с боковой стороной: $AB\perp AD$ и $h=8$ (проверка: для второй стороны $6^{2}+8^{2}=100=CD^{2}$ — верно).

Шаг 5. Площадь трапеции. Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{2+8}{2}\cdot 8=5\cdot 8=40$.