Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038965

Угол между пересекающимися хордами (а диагонали $AC$ и $BD$ — это хорды) равен полусумме дуг, которые он и вертикальный ему угол высекают на окружности. Угол $AKB$ опирается на дуги $AB$ и $CD$, поэтому

$60^{\circ}=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}$, откуда $\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Вспомогательное построение. Отложим от точки $B$ по окружности (в сторону, противоположную дуге $AB$) дугу, равную дуге $CD$, и получим точку $B_{1}$. Равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому $BB_{1}=CD=4$. При этом дуга $AB_{1}$, составленная из дуг $AB$ и $BB_{1}$, равна

$\smile AB_{1}=\smile AB+\smile CD=120^{\circ}$.

Шаг 1. Хорда $AB_{1}$ через радиус. Хорда, стягивающая дугу в $120^{\circ}$, видна из центра под углом $120^{\circ}$; по теореме синусов для вписанного треугольника (или из равнобедренного треугольника с двумя радиусами)

$AB_{1}=2R\sin 60^{\circ}=2R\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$.

Шаг 2. Угол треугольника $ABB_{1}$. Вписанный угол $ABB_{1}$ опирается на дугу $AB_{1}$, не содержащую точку $B$, то есть на дугу в $360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги:

$\angle ABB_{1}=\dfrac{240^{\circ}}{2}=120^{\circ}$.

Шаг 3. Теорема косинусов. В треугольнике $ABB_{1}$ известны стороны $AB=43$, $BB_{1}=4$ и угол между ними $120^{\circ}$, а $\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$:

$AB_{1}^{2}=43^{2}+4^{2}-2\cdot 43\cdot 4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1849+16+172=2037$.

Шаг 4. Находим радиус. С другой стороны, $AB_{1}=R\sqrt{3}$, поэтому $AB_{1}^{2}=3R^{2}$:

$3R^{2}=2037$, значит $R^{2}=679$ и $R=\sqrt{679}\approx 26,06$.

Приём стоит запомнить: если известен угол между диагоналями вписанного четырёхугольника, «переносом дуги» две его стороны собираются в один треугольник с известным углом.