Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038964

Разберёмся с чертежом. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, а так как основания параллельны ($BC\parallel AD$), то $AB$ перпендикулярна и основанию $AD$. Значит, отрезок $EB$ — это расстояние от точки $E$ до прямой $BC$, а отрезок $EA$ — расстояние от $E$ до прямой $AD$.

Вспомогательное построение. Опустим из точки $E$ перпендикуляр $EF$ на прямую $CD$; его длина $EF=h$ — то, что требуется найти. Соединим $E$ с точками $C$ и $D$.

Шаг 1. Углы между касательной и хордой. Прямая $AB$ касается окружности в точке $E$, а $EC$ и $ED$ — хорды этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой такой угол равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги:

$\angle BEC=\angle EDC$ и $\angle AED=\angle ECD$.

Шаг 2. Выражаем основания. Треугольник $EBC$ прямоугольный (угол при $B$ прямой), поэтому катет $BC$ равен

$BC=EC\cdot\sin\angle BEC=EC\cdot\sin\angle EDC$.

Треугольник $EAD$ тоже прямоугольный (угол при $A$ прямой), поэтому

$AD=ED\cdot\sin\angle AED=ED\cdot\sin\angle ECD$.

Шаг 3. Выражаем искомое расстояние двумя способами. В прямоугольном треугольнике $EFC$ (угол при $F$ прямой) $h=EC\cdot\sin\angle ECD$, а в прямоугольном треугольнике $EFD$ $h=ED\cdot\sin\angle EDC$.

Шаг 4. Перемножаем. Перемножим равенства шага 2:

$BC\cdot AD=\left(EC\cdot\sin\angle EDC\right)\cdot\left(ED\cdot\sin\angle ECD\right)=\left(EC\cdot\sin\angle ECD\right)\cdot\left(ED\cdot\sin\angle EDC\right)=h\cdot h=h^{2}$.

Мы просто переставили множители местами и узнали в них два выражения для $h$ из шага 3.

Шаг 5. Считаем.

$h=\sqrt{BC\cdot AD}=\sqrt{5\cdot 6}=\sqrt{30}\approx 5,48$.

Красивый факт: расстояние от точки касания до прямой $CD$ равно среднему геометрическому оснований трапеции.