Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038963

Ключ к задаче — четыре точки $B$, $K$, $P$, $C$ на одной окружности: $BKPC$ — вписанный четырёхугольник, а из этого следует подобие треугольников.

Шаг 1. Равные углы. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$: $\angle BKP+\angle BCP=180^{\circ}$. Угол $AKP$ смежный с углом $BKP$, поэтому

$\angle AKP=180^{\circ}-\angle BKP=\angle BCP=\angle ACB$.

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольниках $AKP$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle AKP=\angle ACB$, значит, они подобны по двум углам. Вершине $K$ соответствует вершина $C$, вершине $P$ — вершина $B$, поэтому

$\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{KP}{CB}$.

Шаг 3. Берём подходящее отношение. Известны $AP=9$ и связь сторон $BC$ и $AB$, поэтому используем

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}$, откуда $KP=CB\cdot\dfrac{AP}{AB}$.

Шаг 4. Считаем. «Сторона $BC$ в 3 раза меньше стороны $AB$» означает $BC=\dfrac{AB}{3}$, поэтому

$KP=\dfrac{AB}{3}\cdot\dfrac{9}{AB}=\dfrac{9}{3}=3$.

Отдельные длины сторон не нужны — они сокращаются, и работает только их отношение.