Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038962

В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$, отрезок $BH$ — высота к гипотенузе $AC$. Окружность построена на $BH$ как на диаметре и пересекает катеты в точках $P$ (на $AB$) и $K$ (на $CB$). Ищем хорду $PK$.

Шаг 1. Прямые углы из диаметра. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности, диаметр которой $BH$, поэтому

$\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Что это значит на чертеже. Отрезок $HP$ перпендикулярен катету $AB$, отрезок $HK$ перпендикулярен катету $BC$, а угол между самими катетами (угол $PBK$, он же угол $ABC$) прямой по условию.

Шаг 3. $BPHK$ — прямоугольник. Сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$; три угла у нас по $90^{\circ}$, значит, и четвёртый равен $90^{\circ}$. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, — прямоугольник.

Шаг 4. Диагонали. В прямоугольнике диагонали равны между собой, а $BH$ и $PK$ — как раз диагонали $BPHK$. Поэтому

$PK=BH=11$.

Ответ не зависит от того, какие именно катеты у треугольника: он всегда совпадает с длиной высоты.