Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038961

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$; $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность, пересекающая катеты $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$. Нужно найти отрезок $PK$.

Шаг 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр. Такой угол всегда прямой. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, поэтому

$\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Перпендикуляры. Из $\angle BPH=90^{\circ}$ следует $HP\perp AB$, из $\angle BKH=90^{\circ}$ — что $HK\perp BC$. А угол $PBK$ совпадает с углом $ABC$ и равен $90^{\circ}$ по условию.

Шаг 3. Определяем вид четырёхугольника. В четырёхугольнике $BPHK$ три угла прямые, значит, и четвёртый равен $360^{\circ}-90^{\circ}\cdot 3=90^{\circ}$. Все углы прямые — это прямоугольник.

Шаг 4. Равенство диагоналей. Диагонали прямоугольника равны, а диагоналями $BPHK$ являются как раз отрезки $BH$ и $PK$. Поэтому

$PK=BH=15$.

Заметь: конкретные длины катетов и гипотенузы никак не влияют на ответ — он всегда равен высоте $BH$.