Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038956

Основания трапеции $ABCD$ — это $BC=24$ и $AD=44$, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Отрезок $EF$ параллелен основаниям, значит, его длина лежит между 24 и 44, а точное значение задаёт деление боковой стороны: $CF:DF=3:1$.

Вспомогательное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$; пусть она пересекает $EF$ в точке $N$, а основание $AD$ — в точке $M$. Тогда $ABCM$ и $EBCN$ — параллелограммы (противоположные стороны попарно параллельны).

Шаг 1. Равные стороны. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AM=BC=24$ и $EN=BC=24$. Тогда на большем основании остаётся

$MD=AD-AM=44-24=20$,

а искомый отрезок раскладывается так: $EF=EN+NF=24+NF$.

Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольнике $CMD$ отрезок $NF$ параллелен стороне $MD$. Треугольники $CNF$ и $CMD$ подобны по двум углам (общий угол $C$ и равные соответственные углы при параллельных прямых), коэффициент подобия равен $\dfrac{CF}{CD}$.

Шаг 3. Коэффициент. Из $CF:DF=3:1$ следует, что сторона $CD$ состоит из $3+1=4$ равных частей, значит, $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{3}{4}=0,75$.

Шаг 4. Считаем.

$NF=20\cdot 0,75=15$, поэтому $EF=24+15=39$.

Ответ логичен: 39 лежит между 24 и 44 и ближе к большему основанию, ведь точка $F$ ближе к $D$.