Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038955

В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол при вершине $B$, а $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AC$. На отрезке $BH$ как на диаметре построена окружность; она пересекает катеты $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$. Нужно найти хорду $PK$.

Шаг 1. Углы, опирающиеся на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, поэтому

$\angle BPH=90^{\circ}$ и $\angle BKH=90^{\circ}$.

Шаг 2. Что это даёт. Из первого равенства следует $HP\perp AB$, из второго — $HK\perp BC$. Кроме того, угол $PBK$ — это угол $ABC$ исходного треугольника, он прямой по условию.

Шаг 3. $BPHK$ — прямоугольник. В четырёхугольнике $BPHK$ уже три прямых угла, а сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$, поэтому четвёртый угол тоже равен $360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ}$. Четырёхугольник со всеми прямыми углами — прямоугольник.

Шаг 4. Диагонали прямоугольника равны. Отрезки $BH$ и $PK$ — диагонали прямоугольника $BPHK$, а диагонали прямоугольника равны, поэтому

$PK=BH=12$.

Длины катетов треугольника здесь вообще не нужны: ответ всегда совпадает с высотой $BH$.