Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB равно 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.

Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00038954

Задание №25. Геометрические задачи повышенной сложности

Окружности

№2. Задание 25

ID: 00038954

Отрезки

$AB$

$CD$

являются хордами окружности. Найдите длину хорды

$CD$

, если

$AB=12$

, а расстояния от центра окружности до хорд

$AB$

$CD$

равны соответственно 8 и 6.

Источник: ФИПИ

Решение

Хорды лежат в одной окружности, и связывает их только радиус. Про хорду $$AB$$ известно всё: длина $$AB=12$$ и расстояние до центра, равное 8. С неё и начинаем.

Вспомогательное построение. Обозначим центр окружности $$O$$ и опустим перпендикуляры $OM\perp AB$ и $ON\perp CD$ ; по условию $$OM=8$$ , $$ON=6$$ . Проведём радиусы $$OA$$ и $$OC$$ .

Шаг 1. Перпендикуляр делит хорду пополам. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, поэтому $AM=\dfrac{12}{2}=6$ .

Шаг 2. Радиус. Треугольник $$OMA$$ прямоугольный: катеты $$OM=8$$ и $$AM=6$$ , гипотенуза — радиус. По теореме Пифагора

$R^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100$ , значит $$R=10$$ .

Шаг 3. Вторая хорда. В прямоугольном треугольнике $$ONC$$ катет $$ON=6$$ , гипотенуза $$OC=R=10$$ , поэтому

$NC=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ .

Шаг 4. Вся хорда. Точка $$N$$ — середина $$CD$$ , поэтому

$CD=2\cdot NC=2\cdot 8=16$ .

Схема решения простая: по первой хорде нашли радиус, радиусом «померили» вторую.

Ответ

CD = 16

Другие задания по теме «Окружности» (8)