Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038953

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Опорные факты: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, а точка $O$ равноудалена от всех сторон.

Вспомогательное построение. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $CD$: по условию $OH=11$. Треугольник $OCD$ прямоугольный, его катеты — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба, $OH$ — высота к гипотенузе.

Шаг 1. Половина известной диагонали. Пусть $AC=44$, тогда $OC=\dfrac{44}{2}=22$. Обозначим $OD=x$.

Шаг 2. Высота к гипотенузе. Гипотенуза $CD=\sqrt{22^{2}+x^{2}}=\sqrt{484+x^{2}}$ по теореме Пифагора, а высоту находим через площадь треугольника (полупроизведение катетов равно полупроизведению гипотенузы на высоту):

$OH=\dfrac{22x}{\sqrt{484+x^{2}}}=11$.

Шаг 3. Решаем уравнение. Делим обе части на 11: $\dfrac{2x}{\sqrt{484+x^{2}}}=1$, то есть $2x=\sqrt{484+x^{2}}$. Возводим в квадрат: $4x^{2}=484+x^{2}$, значит $3x^{2}=484$ и $x=\dfrac{22}{\sqrt{3}}$.

Шаг 4. Углы. В прямоугольном треугольнике $OCD$

$\operatorname{tg}\angle OCD=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{22}{22\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому $\angle OCD=30^{\circ}$.

Диагональ ромба — биссектриса его угла, значит, угол при вершине $C$ равен $2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$, а соседний угол ромба равен $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ (соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^{\circ}$).

Ответ по существу: углы ромба — $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.