Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038951

В трапеции $ABCD$ основания $BC=30$ и $AD=50$, боковые стороны $AB$ и $CD$. Отрезок $EF$ параллелен основаниям, поэтому его длина обязательно окажется между 30 и 50; где именно — определяет отношение $CF:DF=7:3$.

Вспомогательное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть она пересекает отрезок $EF$ в точке $N$, а основание $AD$ — в точке $M$. Четырёхугольники $ABCM$ и $EBCN$ — параллелограммы: их противоположные стороны попарно параллельны.

Шаг 1. Равные отрезки. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AM=BC=30$ и $EN=BC=30$. Значит, на большем основании остаётся

$MD=AD-AM=50-30=20$,

а искомый отрезок распадается на части: $EF=EN+NF=30+NF$.

Шаг 2. Подобие. В треугольнике $CMD$ отрезок $NF$ параллелен стороне $MD$, поэтому треугольники $CNF$ и $CMD$ подобны по двум углам: угол $C$ общий, а углы $CNF$ и $CMD$ равны как соответственные при параллельных прямых. Коэффициент подобия равен $\dfrac{CF}{CD}$.

Шаг 3. Коэффициент. Из $CF:DF=7:3$ следует, что сторона $CD$ состоит из $7+3=10$ равных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{7}{10}=0,7$.

Шаг 4. Вычисляем.

$NF=MD\cdot 0,7=20\cdot 0,7=14$, поэтому $EF=30+14=44$.

Проверка: 44 лежит между 30 и 50 и ближе к большему основанию — так и должно быть, ведь точка $F$ ближе к $D$.