Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038950

Центр окружности лежит на стороне $AC$, поэтому прямая $AC$ проходит через центр и пересекает окружность в двух точках: в вершине $C$ и ещё в одной, назовём её $M$. Отрезок $MC$ — это и есть диаметр.

Вспомогательное построение. Точка $M$ лежит между $A$ и $C$, потому что вершина $A$ находится вне окружности (из неё проведена касательная $AB$). Тогда диаметр равен $MC=AC-AM$, и остаётся найти $AM$.

Шаг 1. Теорема о касательной и секущей. Из точки $A$ проведены касательная $AB$ (точка касания $B$) и секущая, проходящая через точки $M$ и $C$. Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AB^{2}=AM\cdot AC$.

Шаг 2. Подставляем числа. По условию $AB=3$, $AC=5$:

$3^{2}=AM\cdot 5$, то есть $9=5\cdot AM$, откуда $AM=\dfrac{9}{5}=1,8$.

Шаг 3. Находим диаметр.

$MC=AC-AM=5-1,8=3,2$.

Проверим: радиус равен $1,6$, расстояние от $A$ до центра равно $1,8+1,6=3,4$, и в прямоугольном треугольнике (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) должно быть $3^{2}+1,6^{2}=3,4^{2}$, то есть $9+2,56=11,56$ — верно.