ID: 00038949
Источник: ФИПИ
Обозначим ромб $ABCD$, а точку пересечения его диагоналей — $O$. Понадобятся два факта: диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, а сама точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба.
Вспомогательное построение. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $CD$; по условию $OH=16$. Треугольник $OCD$ прямоугольный (диагонали перпендикулярны), его катеты — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба, а $OH$ — высота к гипотенузе.
Шаг 1. Половина известной диагонали. Пусть диагональ, равная 64, — это $AC$, тогда $OC=\dfrac{64}{2}=32$. Вторую половину диагонали обозначим $OD=x$.
Шаг 2. Записываем высоту к гипотенузе. Гипотенуза равна $CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{1024+x^{2}}$ (теорема Пифагора), а высота к гипотенузе находится через площадь треугольника (площадь равна и полупроизведению катетов, и полупроизведению гипотенузы на высоту):
$OH=\dfrac{OC\cdot OD}{CD}=\dfrac{32x}{\sqrt{1024+x^{2}}}=16$.
Шаг 3. Решаем уравнение. Делим обе части на 16: $\dfrac{2x}{\sqrt{1024+x^{2}}}=1$, то есть $2x=\sqrt{1024+x^{2}}$. Возводим в квадрат: $4x^{2}=1024+x^{2}$, значит $3x^{2}=1024$, $x=\dfrac{32}{\sqrt{3}}$.
Шаг 4. Переходим к углам. В прямоугольном треугольнике $OCD$
$\operatorname{tg}\angle OCD=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{32}{\sqrt{3}\cdot 32}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, значит $\angle OCD=30^{\circ}$.
Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому угол ромба при вершине $C$ равен $2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$, а соседний угол, дополняющий его до $180^{\circ}$, равен $120^{\circ}$.
Итак, у ромба два угла по $60^{\circ}$ и два по $120^{\circ}$.