ID: 00038946
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ основания $BC=20$ и $AD=45$, боковые стороны $AB$ и $CD$. Отрезок $EF$ параллелен основаниям, значит, его длина лежит между 20 и 45, а конкретное значение задаёт деление боковой стороны: $CF:DF=4:1$, то есть точка $F$ стоит совсем близко к $D$.
Вспомогательное построение. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$; пусть она пересекает $EF$ в точке $N$, а основание $AD$ — в точке $M$. Тогда $ABCM$ и $EBCN$ — параллелограммы, ведь их противоположные стороны попарно параллельны.
Шаг 1. Равные стороны параллелограммов. $AM=BC=20$ и $EN=BC=20$. Отсюда на большем основании остаётся
$MD=AD-AM=45-20=25$,
а искомый отрезок раскладывается так: $EF=EN+NF=20+NF$.
Шаг 2. Подобие треугольников. В треугольнике $CMD$ отрезок $NF$ параллелен стороне $MD$. Треугольники $CNF$ и $CMD$ подобны по двум углам (угол $C$ общий, углы $CNF$ и $CMD$ равны как соответственные при параллельных прямых), а коэффициент подобия равен $\dfrac{CF}{CD}$.
Шаг 3. Коэффициент. Из $CF:DF=4:1$ следует, что сторона $CD$ состоит из $4+1=5$ равных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{4}{5}$.
Шаг 4. Считаем.
$NF=MD\cdot\dfrac{CF}{CD}=25\cdot\dfrac{4}{5}=20$, тогда $EF=20+20=40$.
Проверка: 40 лежит между 20 и 45 и почти дотягивается до большего основания — логично, ведь до точки $D$ остаётся всего одна пятая боковой стороны.