Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038945

Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $F$, поэтому отрезки $AF=20$, $BF=15$ и боковая сторона $AB$ образуют треугольник $ABF$. Найти $AB$ можно, если понять, какой угол в этом треугольнике при вершине $F$.

Шаг 1. Односторонние углы. В трапеции $ABCD$ основания параллельны, а $AB$ — секущая, поэтому углы $A$ и $B$ односторонние и

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Половинки углов. Биссектриса делит угол пополам, значит, в треугольнике $ABF$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\dfrac{\angle A}{2}$ и $\dfrac{\angle B}{2}$, а их сумма

$\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Угол при $F$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому

$\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$: треугольник прямоугольный.

Шаг 4. Теорема Пифагора. Катеты $AF=20$ и $BF=15$, гипотенуза $AB$:

$AB=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$.

Здесь узнаётся знакомая тройка $15$, $20$, $25$ — это увеличенная в 5 раз тройка $3$, $4$, $5$.