Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038944

По условию центр окружности лежит на стороне $AC$, а окружность проходит через $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Значит, сторона $AC$ складывается из расстояния от вершины $A$ до центра и радиуса (от центра до точки $C$).

Вспомогательное построение. Обозначим центр окружности буквой $O$ и проведём радиус $OB$ в точку касания $B$.

Шаг 1. Радиус. Диаметр равен 15, поэтому

$r=OB=OC=\dfrac{15}{2}=7,5$.

Шаг 2. Прямой угол. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OB\perp AB$. Значит, треугольник $ABO$ прямоугольный, прямой угол при вершине $B$.

Шаг 3. Ищем гипотенузу. Катеты равны $AB=4$ и $OB=7,5$, поэтому по теореме Пифагора

$AO=\sqrt{4^{2}+7,5^{2}}=\sqrt{16+56,25}=\sqrt{72,25}=8,5$.

Шаг 4. Складываем. Центр $O$ лежит на отрезке $AC$ между $A$ и $C$, поэтому

$AC=AO+OC=8,5+7,5=16$.

Проверка по теореме о касательной и секущей: внешняя часть секущей равна $AC-15=1$, и действительно $AB^{2}=16=1\cdot 16=AC\cdot(AC-15)$.