Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038943

Центр окружности лежит на стороне $AC$, поэтому отрезок $AC$ состоит из двух кусков: от $A$ до центра и от центра до точки $C$, причём второй кусок — это радиус. Значит, достаточно найти расстояние от вершины $A$ до центра.

Вспомогательное построение. Обозначим центр окружности буквой $O$ (она лежит на $AC$) и проведём радиус $OB$ в точку касания.

Шаг 1. Радиус. Диаметр равен 6,4, значит,

$r=OB=OC=\dfrac{6,4}{2}=3,2$.

Шаг 2. Прямой угол в точке касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB\perp AB$ и треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

Шаг 3. Теорема Пифагора. В треугольнике $ABO$ катеты $AB=6$ и $OB=3,2$, гипотенуза $AO$:

$AO=\sqrt{6^{2}+3,2^{2}}=\sqrt{36+10,24}=\sqrt{46,24}=6,8$.

Шаг 4. Собираем сторону $AC$. Точка $O$ лежит между $A$ и $C$, поэтому

$AC=AO+OC=6,8+3,2=10$.

Тот же ответ даёт и теорема о касательной и секущей: $AB^{2}=(AC-6,4)\cdot AC$, то есть $AC^{2}-6,4AC-36=0$, откуда положительный корень $AC=10$.