Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038942

Числа $AF=21$ и $BF=20$ выглядят «некрасиво», но это как раз намёк на пифагорову тройку: если треугольник $ABF$ окажется прямоугольным, гипотенуза выйдет целой. Проверим, так ли это.

Шаг 1. Углы при боковой стороне трапеции. Основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — секущая. Углы $A$ и $B$ при этой стороне односторонние, значит,

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам. В треугольнике $ABF$ при вершине $A$ лежит угол $\dfrac{\angle A}{2}$, при вершине $B$ — угол $\dfrac{\angle B}{2}$, и их сумма равна

$\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Третий угол. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому

$\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ — треугольник прямоугольный, и $AB$ в нём гипотенуза.

Шаг 4. Теорема Пифагора.

$AB=\sqrt{21^{2}+20^{2}}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29$.

Догадка подтвердилась: тройка $20$, $21$, $29$ — пифагорова.