Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038941

Пусть дан ромб $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $O$. Нам понадобятся два свойства: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, а сама точка $O$ равноудалена от всех сторон.

Вспомогательное построение. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $CD$: по условию $OH=12$. Рассмотрим треугольник $OCD$: он прямоугольный (диагонали перпендикулярны), его катеты — половины диагоналей, гипотенуза — сторона ромба, а $OH$ — высота, проведённая к гипотенузе.

Шаг 1. Известная половина диагонали. Пусть диагональ, равная 48, — это $AC$. Тогда $OC=\dfrac{48}{2}=24$. Вторую половину обозначим $OD=x$.

Шаг 2. Выражаем высоту. Гипотенуза $CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{576+x^{2}}$ по теореме Пифагора. Высоту к гипотенузе найдём через площадь треугольника: она равна половине произведения катетов и половине произведения гипотенузы на высоту, откуда

$OH=\dfrac{OC\cdot OD}{CD}=\dfrac{24x}{\sqrt{576+x^{2}}}=12$.

Шаг 3. Решаем уравнение. Разделим обе части на 12: $\dfrac{2x}{\sqrt{576+x^{2}}}=1$, значит $2x=\sqrt{576+x^{2}}$. Возведём в квадрат: $4x^{2}=576+x^{2}$, отсюда $3x^{2}=576$, $x^{2}=192$ и $x=8\sqrt{3}$.

Шаг 4. Находим углы ромба. В прямоугольном треугольнике $OCD$

$\operatorname{tg}\angle OCD=\dfrac{OD}{OC}=\dfrac{8\sqrt{3}}{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, значит $\angle OCD=30^{\circ}$.

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому угол ромба при вершине $C$ равен $2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$, а соседний угол дополняет его до $180^{\circ}$ (стороны ромба попарно параллельны) и равен $120^{\circ}$.

Итого углы ромба: два по $60^{\circ}$ и два по $120^{\circ}$.