Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00038940

Точка $F$ — пересечение биссектрис углов $A$ и $B$, а эти углы прилежат к боковой стороне $AB$. Значит, отрезки $AF=16$, $BF=12$ и сторона $AB$ образуют треугольник $ABF$, и всё сводится к тому, какой угол в нём при вершине $F$.

Шаг 1. Сумма углов при боковой стороне. Основания трапеции параллельны, боковая сторона $AB$ — секущая, углы $A$ и $B$ — односторонние, поэтому

$\angle A+\angle B=180^{\circ}$.

Шаг 2. Что дают биссектрисы. Биссектриса делит угол пополам, поэтому в треугольнике $ABF$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\dfrac{\angle A}{2}$ и $\dfrac{\angle B}{2}$, а вместе они дают

$\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Шаг 3. Угол при вершине $F$. По теореме о сумме углов треугольника

$\angle AFB=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,

то есть биссектрисы пересекаются под прямым углом.

Шаг 4. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике $AFB$ катеты $AF=16$ и $BF=12$, гипотенуза — искомая сторона:

$AB=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$.